Hogyan oldja meg a négyzetes egyenleteket -

A négyzetes egyenletet olyan egyenletnek nevezik, amelyben a változó mértékének legnagyobb értéke 2. Három alapvető mód van a négyzetes egyenletek megoldására: ha lehetséges, bontsa le a négyzetes egyenletet a szorzókhoz, hogy a négyzet egyenlet gyökérformáját használja, vagy adjon hozzá egy teljes négyzethez. Szeretné tudni, hogy ez hogyan történik? Olvass tovább.

Lépések

1. módszer 3:

A tényezők bomlása

egy. Scroll Hasonló elemeket és átadja az egyenlet egy részét. Ez lesz az első lépés, az érték

X 2

$x ^ {2}$ Pozitívnak kell maradnia. Hajtsa végre vagy levonja az összes értéket

X 2

$x ^ {2}$ ,

X

és állandóan elvégezték az összes részt, és 0-ban 0-ban hagyva. Így történik:

$2 X 2 - nyolc X - 4 = 3 X - X^{2}$ $2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}$
$2 X 2 + X^{2} - nyolc X - 3 X - 4 = 0$ $2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0$
$3 X 2 - tizenegy X - 4 = 0$ $3x ^ {2} -11x-4 = 0$

Kép cím szerinti kvadratikus egyenletek 2. lépés

2. Terjessze a kifejezést a szorzókon. Ehhez használja az értékeket

X 2

$x ^ {2}$ (3), állandó értékek (-4), meg kell szüntetni és -11. Íme, hogyan kell csinálni:

3 X 2

$3x ^ {2}$ Csak két lehetséges tényezője van:

3 X

és

X

, Tehát zárójelben rögzíthetők:

(3 X \pm ?) (X \pm ?) = 0

Továbbá, a 4-es szorzók helyettesítése, kombinációt fogunk találni, amikor a -11x. Használhat 4 és 1, vagy 2 és 2 kombinációt, mivel mindkettő 4. Ne feledje, hogy az értékeknek negatívnak kell lenniük, mert vagyunk -4.

Minták és hiba, amit kombinációt kapsz

(3 X + egy) (X - 4)

. Szorzáskor, kapunk

3 X 2 - 12 X + X - 4

$3x ^ {2} -12x + x-4$ . Kapcsolat

- 12 X

és

X

, Megkapjuk a középső kakasot

- tizenegy X

, amit keresünk. A négyzetes egyenlet lebomlik a szorzókra.

Például próbálja meg a nem megfelelő kombinációt: (

(3 X - 2) (X + 2)

3 X 2 + 6 X - 2 X - 4

$3x ^ {2} + 6x-2x-4$ . Kombinálva, kapunk

3 X 2 - 4 X - 4

$3x ^ {2} -4x-4$ . Bár vannak -4 és 2 szorzókkal --4-vel, az átlagos tag nem illeszkedik, mert meg akartunk kapni

- tizenegy X

, de nem

- 4 X

Kép cím szerinti kvadratikus egyenletek 3. lépés

3. Az egyes expressziót zárójelben nulla (külön egyenletek). Tehát két jelentést találunk

X

, amelyen az összes egyenlet nulla,

(3 X + egy) (X - 4)

= 0. Most már továbbra is egyenlő, hogy a zárójelben lévő kifejezések nulla legyen. Miért? Az a tény, hogy a munka egyenlő nulla, ha a multiplikátorok közül legalább az egyik nulla. Mint

(3 X + egy) (X - 4)

egyenlő nulla, majd (3x + 1), vagy (x - 4) nulla. Írd le

3 X + egy = 0

és

X - 4 = 0

A kép megoldása kvadratikus egyenletek szerint 4. lépés

4. Válasszon külön-külön minden egyes egyenletet. A négyzetes egyenletben X-nek két értéke van. Döntse el az egyenleteket, és írja le az X értékeket:

Döntse el a 3x + 1 = 0 egyenletet

3x = -1 ..... kivonással

3x / 3 = -1/3 ..... megosztással

x = -1/3 ..... Egyszerűsítés után

Döntse el az X - 4 = 0 egyenletet

x = 4 ..... kivonással

x = (-1/3, 4)..... Lehetséges értékek, azaz x = -1/3 vagy x = 4.

Kép cím szerinti kvadratikus egyenletek 5. lépés

öt. Ellenőrizze az x = -1/3 értéket, és ezt az értéket (3x + 1) helyettesíti (X - 4) = 0:

(3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4) ?=? 0 ..... helyettesítéssel

(-1 + 1) (- 4 1/3) ?=? 0 ..... Egyszerűsítés után

(0) (- 4 1/3) = 0 ..... Szorzás után

0 = 0, ezért x = -1/3 - a helyes válasz.

A kép megoldása kvadratikus egyenletek 6. lépés

6. Ellenőrizze az x = 4-et, és ezt az értéket (3x + 1) helyettesíti (X - 4) = 0:

(3 [4] + 1) ([4] - 4) ?=? 0 ..... helyettesítéssel

(13) (4 - 4) ?=? 0 ..... Egyszerűsítés után

(13) (0) = 0 ..... Szorzás után

0 = 0, ezért, x = 4 - A helyes válasz.

Így mindkét megoldás hűséges.

3. módszer 3:

A négyzetes egyenlet gyökere használata

egy. Kombinálja az összes tagot, és írja le az egyenlet egyik oldalán. Az érték mentése

X 2

$x ^ {2}$ pozitív. Írja le a tagokat a fokozatok csökkentése érdekében, így egy tag

X 2

$x ^ {2}$ először írta

X

Majd állandó:

4x - 5x - 13 = X -5
4x - X - 5x - 13 +5 = 0
3x - 5x - 8 = 0

A kép megoldása kvadratikus egyenletek 8. lépés

2. Rögzítse a négyzetes egyenlet gyökerét. A képlet a következő formában van:

- B \pm \sqrt{B} 2 - 4 A C 2 A

${ Frac {-b) { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2A}}$

Kép cím szerinti kvadratikus egyenletek 9. lépés

3. Határozza meg az A, B és C értékeit a négyzetes egyenletben. Változó A - Az X tag együtthatója, B - X. tag, C - állandó. A 3X -5X - 8 = 0, A = 3, B = -5 és C = -8. Írd le.

A kép megoldása kvadratikus egyenletek 10. lépés

4. Az A, B és C értékeket az egyenlethez. A három változó értékeinek ismerete az alábbiak szerint helyettesítheti azokat:

{-b +/- √ (B - 4Ac)} / 2

{- (- 5) +/- √ ((-5) - 4 (3) (- 8))} / 2 (3) =

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3)

A kép megoldása kvadratikus egyenletek 11. lépés

öt. Számol. A jelentések helyettesítése, az előnyök és hátrányok egyszerűsítése, szorozzák meg a fennmaradó tagokat:

{- (- 5) +/- √ ((-5) - (-96))} / 2 (3) =

{5 +/- √ (25 + 96)} / 6

{5 +/- √ (121)} / 6

Kép cím szerinti kvadratikus egyenletek 12. LÉPÉS

6. Egyszerűsítse a négyzetgyöket. Ha a négyzetgyökér jele alatt álló szám - egy négyzet, akkor kap egy egész számot. Ha nem, egyszerűsítse azt a legegyszerűbb gyökérértékhez. Ha a szám negatív, És biztos benne, hogy negatívnak kell lennie, akkor a gyökerek összetettek lesznek. Ebben a példában √ (121) = 11. Leírhatod, hogy x = (5 +/- 11) / 6.

7. Pozitív és negatív megoldások keresése. Ha törölte egy négyzetgyöket, akkor folytathatja, amíg pozitív és negatív értékeket talál). (5 +/- 11) / 6, írhat:

(5 + 11) / 6

(5 - 11) / 6

nyolc. Pozitív és negatív értékeket talál. Csak számít:

(5 + 11) / 6 = 16/6

(5-11) / 6 = -6/6

A kép megoldása kvadratikus egyenletek 15. LÉPÉS

kilenc. Egyszerűsít. Ehhez csak osztja meg mind a legnagyobb közös osztót. Az első frakció 2, a második és 6, X között van osztva.

16/6 = 8/3

-6/6 = -1

x = (-1, 8/3)

3. módszer 3:

A teljes négyzet mellett

egy. Adja át az összes tagot az egyenlet egyik oldalára. A vagy x pozitívnak kell lennie. Ez így történik:

2x - 9 = 12x =
2x - 12x - 9 = 0

Ebben az egyenletben A: 2, B: -12,C: -Nine.

A kép megoldása kvadratikus egyenletek 17. lépés

2. Átadja a péniszet C (állandó) a másik oldalra. Az állandó az egyenlet tagja, amely csak egy változók nélküli numerikus értéket tartalmaz. Tegye át a jobb oldalra:

2x - 12x - 9 = 0

2x - 12x = 9

A kép megoldása kvadratikus egyenletek 18. lépés

3. Oszd meg mindkét részét az együtthatóra A vagy X. Ha X-nek nincs együtthatója, akkor egy egyenlő, és ez a lépés kihagyható. Példánkban minden tag osztja a 2-et:

2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =

X - 6x = 9/2

A kép megoldása kvadratikus egyenletek 19. lépés

4. Feloszt B 2, vegye be a négyzetet, és add hozzá mindkét oldalra. Példánkban B egyenlő -6:

-6/2 = -3 =

(-3) = 9 =

X - 6x + 9 = 9/2 + 9

A kép megoldása kvadratikus egyenletek 20. lépés

öt. Hasonlóan mindkét fél. Korai a bal oldali tagok és kiderül (X-3) (X-3), vagy (X-3). Hajtsa fel a tagokat a jobb oldali és 9/2 + 9, vagy 9/2 + 18/2, ami 27/2.

A kép megoldása kvadratikus egyenletek 21. lépés

Távolítsa el a négyzetgyöket mindkét részből. Négyzetgyökér (x-3) egyszerűen egyenlő (X-3). A 27/2 négyzetgyöket ± √ (27/2) lehet írni. Így X - 3 = ± √ (27/2).

A kép megoldása kvadratikus egyenletek 22. lépés

Egyszerűsítse az etetési kifejezést és találja meg az X. A ± √ (27/2) egyszerűsítése érdekében találjon egy teljes négyzetet a 27. és 2. számban vagy a szorzójukban. 27-ben van egy teljes négyzet 9, mert 9 x 3 = 27. Ahhoz, hogy 9-et hozza ki a gyökérjeltől, távolítsa el a gyököt, és távolítsa el a 3-at a root jelből. Hagyja 3 a frakciók számát a gyökérjel alatt, mivel ezt a szorzót nem lehet megtanulni, és hagyja el az alábbi 2-et. Ezután adja át az egyenlet bal oldali részének állandó 3-at, és írjon két megoldást az x-hez:

x = 3 + (√6) / 2

x = 3 - (√6) / 2)

Tippek

Ha a gyökér alatt lévő szám nem teljes négyzet, akkor az utóbbi néhány lépcső egy kicsit másképp történik. Itt van egy példa:
Amint láthatja, a gyökérjel nem tűnt el. A tagok ilyen képe a számlálókba nem kombinálható. Akkor nincs értelme törni plusz vagy mínusz. Ehelyett megosztjuk a közös szorzót - de csak Ha a szorzó gyakori az állandóan és Gyökér együttható.