A trigonometrikus egyenletek megoldása: 8 lépés

A trigonometrikus egyenlet az "X" (vagy bármely más változó) változó egy vagy több trigonometrikus funkcióját tartalmazza. A trigonometrikus egyenlet megoldása olyan "X" érték megtalálása, amely megfelel a funkcióknak (funkcióknak) és az egyenlet általában.

A trigonometrikus egyenletek megoldásait fokozatosan vagy radiánokban fejezzük ki. Példák:

X = π / 3- x = 5π / 6- x = 3π / 2-x = 45 degrees = 37,12 degrees = 178,37 fok.

MEGJEGYZÉS: A radiánokban és a fokozatokban kifejezett szögek trigonometrikus függvényeinek értékei egyenlőek. A trigonometrikus kör, amely egy sugárral azonos, a trigonometrikus funkciók leírására szolgál, valamint a fő trigonometriás egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásának helyességének igazolását.
Példák trigonometrikus egyenletekre:

SIN X + SIN 2X = 1/2-TG X + CTG X = 1.732;
Cos 3x + sin 2x = cos x-2sin 2x + cos x = 1 .

Trigonometrikus kör, amely egy sugárral egyenlő (egy kör).
Ez egy kör, amely egy sugárral egyenlő, és a középpontban az o pont. Egyetlen kör leírja az "X" változó 4 alapvető trigonometrikus funkcióit, ahol az "x" egy szög az x tengely pozitív irányából számolva, az óramutató járásával ellentétes irányban.
Ha az "x" néhány szög egy körön, akkor:
Az OAH vízszintes tengelye meghatározza az F (x) = COMMI funkciót.
Az ovy függőleges tengelye meghatározza az f (x) = sin x funkciót.
A függőleges tengely meghatározza az f (x) = tg x funkciót.
A BU vízszintes tengelye meghatározza az f (x) = ctg x funkciót.

Az egységkörét a fő trigonometriás egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására is használják (az "x" különböző rendelkezései vannak).

Lépések

egy. A trigonometrikus egyenletek megoldásának fogalma.

A trigonometrikus egyenlet megoldásához konvertálja azt egy vagy több fő trigonometrikus egyenletbe. A trigonometrikus egyenlet megoldása végső soron csökkenti a négy fő trigonometrikus egyenlet megoldását.

Kép cím szerinti trigonometrikus egyenletek 2. lépés

2. A fő trigonometrikus egyenletek megoldása.

4 típusú alapvető trigonometrikus egyenlet található:

Sin x = a- cos x = a

TG x = a- ctg x = a

A fő trigonometrikus egyenletek megoldása az "x" különböző körű különös rendelkezéseinek figyelembe vételét jelenti, valamint egy konverziós táblázat (vagy számológép) használatát.

1. példa. sin x = 0,866. A konverziós táblázat (vagy számológép) segítségével megkapja a választ: x = π / 3. Egyetlen kör ad egy másik választ: 2π / 3. Ne feledje: az összes trigonometrikus funkció periodikus, azaz értékeik megismétlődnek. Például a SIN X és COS X frekvenciája 2πn, és a TG X és a CTG X frekvencia egyenlő. Ezért a válasz a következőképpen íródott:

x1 = π / 3 + 2πn- x2 = 2π / 3 + 2πn.

2. példa. Cos x = -1/2. A konverziós táblázat (vagy számológép) használatával megkapja a választ: x = 2π / 3. Egyik kör egy másik választ ad: -2π / 3.

x1 = 2π / 3 + 2π X2 = -2π / 3 + 2π.

3. példa. TG (X - π / 4) = 0.

Válasz: x = π / 4 + πn.

4. példa. CTG 2x = 1,732.

Válasz: x = π / 12 + πn.

Kép cím szerinti trigonometrikus egyenletek 3. lépés

3. Trigonometrikus egyenletek megoldásában használt transzformáció.

A trigonometrikus egyenletek átalakításához algebrai transzformációkat használnak (bomlás a szorzókon, homogén tagok és t.D.) és a trigonometria.

5. példa. A trigonometrikus identitásokat, a sin x + SIN 2X + SIN 3X = 0 egyenlet alakítjuk 4COS X * SIN egyenlet (3x / 2) * COS (X / 2) = 0. Így a következő fő trigonometrikus egyenleteket kell megoldani: COS X = 0 - SIN (3x / 2) = 0- cos (x / 2) = 0.

A kép megoldása Trigonometric egyenletek 4. lépés

4. A funkciók ismert értékeinek megkeresése.

Mielőtt tanulmányozná a trigonometrikus egyenletek megoldásának módszereit, meg kell tanulnia, hogyan kell megtalálni a sarkokat az ismert funkciók értékeinek megfelelően. Ez egy átalakítás vagy számológép asztal használatával történhet.

Példa: cos x = 0,732. A számológép megadja a választ x = 42,95 fok. Egyik kör további sarkokat ad, amelyek koszinusa szintén 0,732.

Kép cím szerinti trigonometrikus egyenletek 5. lépés

öt. Postulálja a döntést egyetlen körre.

Az egyetlen kör szilárd konfigurációs egyenletét elhalaszthatja. Az egyetlen kören lévő trigonometrikus egyenlet megoldásai a helyes poligon csúcsjai.

Példa: x = π / 3 + πn / 2an megoldások egyetlen kört egy négyzet csúcspontja.

Példa: x = π / 4 + πn / 35 megoldások egyetlen kör a megfelelő hatszög felső.

Kép cím szerinti trigonometrikus egyenletek 6. lépés

6. A trigonometrikus egyenletek megoldására szolgáló módszerek.

Ha ez a trigonometrikus egyenlet csak egy trigonometrikus funkciót tartalmaz, oldja meg ezt az egyenletet a fő trigonometrikus egyenletként. Ha ez az egyenlet két vagy több trigonometrikus funkciót tartalmaz, akkor 2 módszer van egy ilyen egyenlet megoldására (az átalakulás lehetőségétől függően).

1. módszer.

Ezt az egyenletet az űrlap egyenletéhez konvertálja: f (x) * g (x) * h (x) = 0, ahol f (x), g (x), h (x) - a fő trigonometrikus egyenletek.

6. példa. 2cos x + sin 2x = 0.(0 < x>

Megoldás. A kettős szögű sin 2x = 2 * sin x * cos, cserélje ki a sin 2x-et.

2SSS X + 2 * SIN X * COS X = 2COS X * (SIN X + 1) = 0. Most döntse el a két fő trigonometrikus egyenletet: cos x = 0 és (sin x + 1) = 0.

7. példa.Cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0 < x>

Megoldás: Trigonometrikus identitások alkalmazásával átalakított egyenlet az űrlap egyenletéhez: COS 2X (2COS X + 1) = 0. Most döntse el a két fő trigonometrikus egyenletet: cos 2x = 0 és (2COS X + 1) = 0.

8. példa.Sin x - sin 3x = cos 2x .(0 < x>

Megoldás: A trigonometrikus identitásokat, átalakított egyenlet a következő egyenlet típusú: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Most döntse el a két fő trigonometrikus egyenletet: cos 2x = 0 és (2sin x + 1) = 0.

2. módszer.

Ezt a trigonometrikus egyenletet csak egy trigonometrikus funkciót tartalmazó egyenletre konvertálja. Ezután cserélje ki ezt a trigonometrikus funkciót néhány ismeretlen, például t (sin x = t- cos x = t- cos 2x = t, tg x = tg (x / 2) = t és t.D.).

9. példa. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < x>

Megoldás. Ebben az egyenletben cserélje ki (cos ^ 2 x) a (1 - sin ^ 2 x) (az identitás szerint). A transzformált egyenlet:

3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin X - 7 = 0. Cserélje ki a sit X-t t. Most az egyenlet: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ez egy négyzetes egyenlet, amelynek két gyökere van: T1 = -1 és T2 = 9/5. A második T2 gyökér nem felel meg a függvényértékek értékeinek (-1 < sin>

10. példa. TG x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2

Megoldás. Helyettesítjük x-et t. Írja át a kezdeti egyenletet a következő formában: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Most keresse meg t, majd keresse meg x t = tg x.

Kép cím szerinti trigonometrikus egyenletek 7. lépés

7. Különleges trigonometrikus egyenletek.

Számos különleges trigonometrikus egyenlet létezik, amelyek specifikus transzformációkat igényelnek. Példák:

A * SIN X + B * COS X = C - A (SIN X + COS X) + B * COS X * SIN X = C;

a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

A kép megoldása Trigonometric Equations 8. lépés

nyolc. Trigonometrikus funkciók gyakorisága.

Amint azt korábban említettük, az extrarigonomentrikus funkciók periodikusak, azaz értéküket egy bizonyos időszak után megismételjük. Példák:

A funkciófunkcióf (x) = sin x 2π.

A függvény funkció (x) = tg x egyenlő π.

A funkciófunkcióf (x) = SIN 2X egyenlő π-vel.

A funkciófunkcióf (x) = cos (x / 2) 4π.

Ha az időszakot a feladat tartalmazza, számítsa ki az "X" értéket ebben az időszakban.

Megjegyzés: Trigonometriai részvény megoldás - egy nehéz feladat, amely gyakran hibákat eredményez. Ezért gondosan ellenőrizze a válaszokat. Ehhez grafikus számológépet használhat az R (x) = 0 egyenlet grafikonjának kialakításához. Ilyen esetekben az oldatokat decimális frakciók formájában mutatják be (azaz π helyébe 3.14).