A Logaritmusok megosztása: 11 lépés (illusztrációkkal)

A logaritmusokkal végzett cselekvések meglehetősen bonyolultnak tűnhetnek, de mint a hatalmi jellemzőkkel vagy polinomokkal, meg kell tudni tudni az alapvető szabályokat. Ezek egy kicsit: a logaritmusok megosztása ugyanazzal az alapgal, vagy lebomlik a magántulajdonú logaritmussal, elegendő a logaritmusok fő tulajdonságainak használata.

Lépések

1. módszer: 2:

Hogyan kell megosztani a logaritmusokat manuálisan

egy. Ellenőrizze, hogy nincs negatív szám vagy egy egység a logaritmus jel alatt. Ez a módszer alkalmazható az űrlap kifejezésekre

Napló B (X) Napló B (A)

${ Frac {log _ {{b}} (x)} { log _ {{b}} (a)}}$ . Azonban nem alkalmas néhány különleges alkalomra:

A negatív szám logaritmusa semmilyen alapon nincs meghatározva (például, $Napló (- 3)$ vagy $Napló 4 (- öt)$ $napló _ {{4}} (- 5)$ ). Ebben az esetben írjon "Nincs döntés".
A logaritmus nulla bármilyen oknál fogva nincs meghatározva. Ha elkapsz $Ln (0)$ , írd le "Nincs döntés".
Logaritmusegységek bármilyen okból ( $Napló (egy)$ ) mindig nulla, mert $X 0 = egy$ $x ^ {{0}} = 1$ Minden érték esetében X. Írja le az ilyen logaritmus helyett 1, és ne használja az alábbi módszert.
Ha a logaritmusok különböző bázisokat tartalmaznak, például $L O G 3 (X) L O G 4 (A)$ ${ Frac {log _ {{3}} (x)} {log _ {{4}} (a)}}$ , és ne csökkentse az egész számot, a kifejezés értéke manuálisan nem található.

2. Konvertáljon egy kifejezést egy logaritmusnak. Ha a kifejezés nem vonatkozik a fenti egyes esetekre, akkor egy logaritmusként jeleníthető meg. Használja ezt a következő képletet:

Napló B (X) Napló B (A) = {Napló}_{A} (X)

${ Frac {log _ {{b}} (x)} { nap _ {{b}} (a)}} = nap _ {{A}} (x)$ .

1. példa: Tekintsük a kifejezést

Napló tizenhat Napló 2

.
Kezdjük, hogy egy logaritmus formájában kifejezést fogunk benyújtani a fenti képlet segítségével:

Napló tizenhat Napló 2 = {Napló}_{2} (tizenhat)

${ Frac {log {16}} { nap {2}}} = nap _ {{2}} (16)$ .

Ez a képlet "A bázis cseréje" A logaritmus a logaritmusok fő tulajdonságaiból származik.

3. Ha lehetséges, kiszámítsa az expresszió értékét manuálisan. Megtalálni

Napló A (X)

$napló _ {{A}} (x)$ , Képzeld el egy kifejezést "

A ? = X

$A ^ {{?}} = X$ ", Vagyis a következő kérdésre: "Milyen mértékben kell építeni A, Megszerezni X?". A kérdés megválaszolásához szükség lehet egy számológépre, de ha szerencsés vagy, manuálisan találja meg.

1. példa (folytatás): átírja

Napló 2 (tizenhat)

$Napló _ {{2}} (16)$ mint

2 ? = tizenhat

$2 ^ {{{?}} = 16$ . Meg kell találni, hogy melyik számot kell állnia a jel helyett "?". Ezt minták és hibák végezhetjük:

22 = 2 * 2 = 4

$2 ^ {{2}} = 2 * 2 = 4$

23 = 4 * 2 = nyolc

$2 ^ {{3}} = 4 * 2 = 8$

24 = nyolc * 2 = tizenhat

$2 ^ {{4}} = 8 * 2 = 16$
Tehát a kívánt szám 4:

Napló 2 (tizenhat)

$Napló _ {{2}} (16)$ = 4.

4. Hagyja a választ logaritmikus formában, ha nem egyszerűsíti azt. Sok logaritmust nagyon nehéz kiszámítani manuálisan. Ebben az esetben, hogy pontos választ kapjon, szükség van egy számológépre. Ha azonban eldönti a feladatot a leckében, akkor a tanár valószínűleg kielégíti a választ a logaritmikus formában. Az alábbiakban a vizsgált módszert egy összetettebb példa megoldására használják:

2. példa: Mi az egyenlő

Napló 3 (58) Napló 3 (7)

${ Frac { log _ {{3}} (58)} { nap _ {{3}} (7)}}}}$ ?

Ezt a kifejezést egy logaritmusba alakítottuk át:

Napló 3 (58) Napló 3 (7) = {Napló}_{7} (58)

${ Frac { log _ {{3}} (58)} { log _ {{3}} (7)}} = nap _ {{7}} (58)$ . Kérjük, vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus alapja ₃ eltűnik - ez bármilyen okból igaz.

Írja át az űrlap kifejezését

7 ? = 58

$7 ^ {{{?}} = 58$ és próbálja meg megtalálni az értéket ?:

72 = 7 * 7 = 49

$7 ^ {{2}} = 7 * 7 = 49$

73 = 49 * 7 = 343

$7 ^ {{3}} = 49 * 7 = 343$
Mivel 58 a két szám között van,

Napló 7 (58)

$Napló _ {{7}} (58)$ nem fejeződött be egész számban.

Válasszon logaritmikus formában:

Napló 7 (58)

$Napló _ {{7}} (58)$ .

2. módszer 2:

Hogyan találjon magán Logaritmust

egy. Tekintsük azt az esetet, amikor a logaritmus magán (frakció). Ez a szakasz a típus kifejezéseire vonatkozik

Napló A (\frac{X}{y})

$napló _ {{A}} ({ frac {x} {y}}))))))$ .

Tegyük fel, hogy megoldania kell a következő feladatot:
"Keresse meg, hogy melyik $Napló 3 (27 6 N) = - 6 - {Napló}_{3} (6)$ $log _ _ {{3}} ({ frac {27} {6n}}) = - 6- nap _ {{3}} (6)$ ".

2. Ellenőrizze, hogy nincs negatív szám a Logaritmus jel alatt. A negatív szám logaritmusa nincs meghatározva. Ha X vagy Y negatív, győződjön meg róla, hogy a feladat megoldást tartalmaz, mielőtt a keresési úton haladna:

Ha X vagy y kevesebb nulla, a feladatnak nincs megoldása.

Ha mindkét Az X és Y számok negatívak, csökkentik a mínusz jelet:

- X - y = \frac{X}{y}

${ Frac {-x} {- y}} = { frac {x} {y}}$ .

A fenti példában nincs negatív szám a Logaritmus aláírás alatt, így a következő lépéshez megy.

3. Elterjedt a privát logaritmus két logaritmusra. A logaritmusok egy másik hasznos tulajdonát a következő képlet jellemzi:

Napló A (\frac{X}{y}) = {Napló}_{A} (X) - {Napló}_{A} (y)

$napló _ {{A}} ({ frac {x} {y}}) = log _ {{A}} (x) - nap _ {{{A}} (y)$ . Más szóval, a privát logaritmusa mindig megegyezik a különbség és az osztó logaritmusai közötti különbséggel.

Ezt a képletet használjuk az egyenlőség bal oldali részének lebomlására:

Napló 3 (27 6 N) = {Napló}_{3} (27) - {Napló}_{3} (6 N)

$Napló _ {{3}} ({ frac {27} {6n}}) = nap _ {{3}} (27) - nap _ {{3}} (6n)$

Az egyenlőségünkben a kifejezést helyettesítjük:

Napló 3 (27 6 N) = - 6 - {Napló}_{3} (6)

$log _ _ {{3}} ({ frac {27} {6n}}) = - 6- nap _ {{3}} (6)$
→

Napló 3 (27) - {Napló}_{3} (6 N) = - 6 - {Napló}_{3} (6)

$Napló _ {{3}} (27) - nap _ {{3}} (6n) = - 6- nap _ {{3}} (6)$

4. Ha lehetséges, egyszerűsítse a kifejezést. Ha az ebből eredő logaritmusokat egész számok képviselik, egyszerűsítheti a kifejezést.

Példánkban megjelent egy új tag:

Napló 3 (27)

$Napló _ {{3}} (27)$ . Mivel 3 = 27, helyette

Napló 3 (27)

$Napló _ {{3}} (27)$ helyettesíthető 3.

Ennek eredményeként a következő kifejezést kapjuk:

3 - Napló 3 (6 N) = - 6 - {Napló}_{3} (6)

$3- Napló _ {{3}} (6n) = - 6- log _ {{3}} (6)$

öt. Külön ismeretlen érték. Mint más algebrai egyenletek megoldásával, javasoljuk, hogy a kívánt mennyiséget egy irányba átviszi, és minden más tag az egyenlet másik oldalán van. Ugyanakkor kombinálja a hasonló tagokat az egyenlet egyszerűsítéséhez.

3 - Napló 3 (6 N) = - 6 - {Napló}_{3} (6)

$3- Napló _ {{3}} (6n) = - 6- log _ {{3}} (6)$

kilenc - Napló 3 (6 N) = - {Napló}_{3} (6)

$9- log _ {{3}} (6n) = - nap _ {{3}} (6)$

Napló 3 (6 N) = kilenc + {Napló}_{3} (6)

$Napló _ {{3}} (6n) = 9 + napló _ {{3}} (6)$ .

6. Szükség esetén használja a logaritmusok egyéb tulajdonságait. A mi esetünkben ismeretlen érték a logaritmus jele alatt áll. Hogy elkülönítsen más tagoktól, használni kell A Logaritmum egyéb tulajdonságai.

Példánkban N A komponens része

Napló 3 (6 N)

$Napló _ {{3}} (6n)$ .
Elválasztani N, A Logaritmusok következő tulajdonát használjuk:

Napló A (B C) = {Napló}_{A} (B) + Napló A (C)

$napló _ {{A}} (bc) = nap _ {{A}} (b) + nap {A} (c)$

Napló 3 (6 N) = {Napló}_{3} (6) + {Napló}_{3} (N)

$Napló _ {{3}} (6n) = nap _ {{3}} (6) + napló _ {{3}} (n)$

Helyettesítse ezt a logaritmusokat a kifejezésünkben:

Napló 3 (6 N) = kilenc + {Napló}_{3} (6)

$Napló _ {{3}} (6n) = 9 + napló _ {{3}} (6)$

Napló 3 (6) + {Napló}_{3} (N) = kilenc + {Napló}_{3} (6)

$napló _ {{3}} (6) + napl _ {{3}} (n) = 9 + napló _ {{3}} (6)$

7. Folytassa a kifejezést, amíg megkapja a választ. Az algebra és a logaritmusok tulajdonságai. Ha a válasz nem fejeződik be egész számban, használja a számológépet és az eredményt a legközelebbi jelentős számra.