Hogyan lehet bontani a többfokozatú polinomokat (négyzetes egyenlet)

A polinom egy (X) változót tartalmaz, amelyet egy fokozatba építenek, és több tagot és / vagy szabadtagot tartalmaznak. A polinomok bomlása a multiplikátoroknál - rövid és egyszerű polinomokba osztva, amelyek egymással szorozva vannak. A polinom multiplikátorok terjesztésének képessége elegendő matematikai ismereteket és készséget igényel.

Lépések

7. módszer 7:

Elsődleges lépések

egy. Írja le az egyenletet. A négyzetes egyenlet standard alakja:

AX + BX + C = 0
Rendezze el a legmagasabb rendet kezdődő tagokat. Tekintsünk egy példát:

6 + 6x + 13x = 0
Adja meg ezt az egyenletet egy négyzetes egyenlet szabványos formájához (egyszerűen a tagok megváltoztatásával):

6x + 13x + 6 = 0

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 2. lépés

2. Az alábbi módszerek segítségével terjedt a szorzókra. A polinomok bomlása a multiplikátoroknál egy rövid és egyszerű polinomok felosztása, amelyek egymással szorozódnak.

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Ebben a példában, bicked (2x +3) és (3x + 2) vannak szorzók az eredeti polinom 6x + 13x + 6.

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 3. lépés

3. Nézze meg a munkát a tagok megszorzásával és ugyanazon (hasonló) tagok hozzáadásával.

(2x + 3) (3x + 2)

6x + 4x + 9x + 6

6x + 13x + 6

(ahol 4 és 9x hasonló tagok). Így megfelelően bomlottunk egy polinomot a szorzókhoz, mivel a szorzásukkal az eredeti polinomot kaptuk.

7. módszer 7:

Megoldás és hiba megoldások

Ha meglehetősen egyszerű polinomot kapsz, akkor önállóan lebomlik a szorzókon. Például a tapasztalt matematikusok azonnal meghatározhatják, hogy mi a polinom 4x + 4x + 1 Többszöröse van (2x + 1) és (2x + 1). (Megjegyzés: Ez a módszer nem lesz olyan egyszerű, ha bonyolultabb polinomot bomlik.) Tekintsünk egy példát:

3x + 2x - 8

egy. Írja le a páros tényező párját A és C. A nézet kifejeződése AX + BX + C = 0, Meghatározza az együtthatókat A és C. Példánkban

A = 3 és szorzók: 1 * 3
C = -8 és szorzók: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 5. lépés

2. Írjon két pár zárójeleket szóközzel, ahelyett, hogy melyek a szabad tagok megtalálhatók:

(x) (x)

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 6. lépés

3. Elülső X Tegyen egy pár tényezőt az együttható számára A. Példánkban egy ilyen pár csak egy:

(3x) (1x)

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 7. lépés

4. Utána X Tegyen egy pár szorzót val vel. Tegyük fel, hogy 8 és 1. Kapunk:

(3xnyolc) (Xegy)

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 8. lépés

öt. Döntse el, hogy melyik jelet kell tennie X és számok (ingyenes tagok). A forrásegyenletben lévő jelek függvényében a szabadtagok előtti jeleket határozhat meg. A Bikcins-szorzónk ingyenes tagjait jelöli H és K:

Ha ax + bx + c, akkor (x + h) (x + k)
Ha az AX BX - C vagy AX + BX - C, akkor (X - H) (X + K)
Ha ax - BX + C, akkor (X - H) (X - K)
A 3x + 2x - 8 példánkban (x - h) (x + k) és

(3x + 8) (X - 1)

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 9. lépés

6. Ellenőrizze az eredményeket a zárójelben lévő kifejezések mozgatásával. Ha a második tag már (az X változóból) helytelen (nem számít, negatív vagy pozitív), akkor úgy döntött, hogy nem a párszorozók párja C.

(3x + 8) (X - 1)

3x - 3x + 8x - 8

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8Táfer, ha szorzók szorzókál, olyan kifejezést kapunk, amely nem egyenlő a kezdeti eszközzel, hogy nem a tényezők párját választottuk.

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 10. lépés

7. Változtasson pár szorzót C. Példánkban vegyünk 2 és 4 helyett 1 és 8 helyett.

(3x + 2) (X - 4)
Most C = -8. Azonban (3x * -4) + (2 * x) = -12x + 2x = -10x, azaz most B = -10x, és a kezdeti egyenletben B = 2x (rossz volt B).

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 11. lépés

nyolc. Módosítsa a multiplikátorok eljárását. Megváltoztatjuk a 2. és 4. helyeket:

(3x + 4) (X - 2)
C Mi legyen (4 * -2 = -8). -6x + 4x adja meg a megfelelő értéket (2x), de a rossz jel előtt (-2x helyett + 2x).

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 12. lépés

kilenc. A jelek módosítása. A zárójelben lévő tagok eljuttatása ugyanazt hagyja, de megváltoztatja a jeleket:

(3x - 4) (x + 2)
C Mit kell (-8), és

B= 6x - 4x = 2x
2x = 2xSzükség szerint. Így találtuk meg az eredeti egyenlet megfelelő tényezőit.

7. módszer 7:

Megoldás bomlással

Ezzel a módszerrel meghatározhatja az együtthatók összes tényezőjét A és C és használja őket, ha az egyenlet szorzók megtalálásakor. Ha a számok nagyok vagy fáradtak a találgatásból, használd ezt. Tekintsünk egy példát:

6x + 13x + 6

egy. Szorozzuk meg az együtthatót A (6 példánkban) az együtthatón C (Példánkban 6).

6 * 6 = 36

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 14. lépés

2. Keresse meg az együtthatót B A szorzók bomlása és nyomon követése. Két számot keresünk, amelyek sokszorozóként adunk meg eredményt a szorzás eredményével A * C (3. példánkban), és ha hozzáadja a hozzáadást, megegyezik az együtthatóval B (A 13. példában).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 15. lépés

3. Helyettesítse a forrásegyenletben található két számot összegként (ami egyenlő B). A talált számokat jelöli K és H (Az eljárás nem fontos):

AX + KX + HX + C
6x + 4x + 9x + 6

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 16. lépés

4. Terjessze a polinomot a csoport tagjai számára. Az eredeti egyenletcsoport tagjai, hogy elviseljék az első két és az utolsó két tag legnagyobb általános szorzókat. Ugyanakkor mindkét zárójelben lévő kifejezéseknek meg kell felelniük. A közös szorzók szervezik a kifejezést, és szorozzuk meg ugyanazt a kifejezést zárójelben.

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

7. módszer 7:

Hármas módszer

Nagyon hasonlít a bomlási módszerhez. Ez a módszer a lehetséges szorzási eredmény tényezők A a C és használja őket, hogy megtalálják az értéket B. Tekintsünk egy példát: 8x + 10x + 2

egy. Szaporít A (8 példa) C(Például 2).

8 * 2 = 16

Kép cím szerinti tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 18. lépés

2. Keressen két számot, amelyek 16 szaporodást adnak, és amelynek eredménye megegyezik az együtthatóval B (Például 10).

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 19. lépés

3. Két számot talált (jelölje át őket H és K) A következő egyenletbe helyezi (Formula "Triple Method"):

((AX + H) (AX + K)) / A

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 20. lépés

4. Megtudja, hogy mindkét zárójelben lévő kifejezés teljesen fel van osztva A. Példánkban ez a kifejezés (8x + 8). Oszd meg ezt a kifejezést A, És hagyja el a második konzol kifejezését, ahogy van.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Osztja ezt a kifejezést 8-on (A) és kapjon (x + 1)

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 21. lépés

öt. Vegye ki a legnagyobb közös osztó (csomópont) bármely vagy mindkét zárójelből (ha van). Példánkban a második zárójelből származó expressziós csomópont 2 (8x + 2 = 2 (4x + 1)). Így kapunk

2 (x + 1) (4x + 1)

7. módszer 7:

Négyszögletes különbség

Egyes polinomiális együtthatók azonosíthatók, mint "négyzetek" (két azonos szám). A "négyzetek" megtalálása lehetővé teszi, hogy felgyorsítsa a polinom bomlását a szorzókhoz. Tekintsünk egy példát:

27x - 12 = 0

egy. Végezze el a leggyakoribb megosztott osztó zárójelben (ha van). Példánkban a 27. és 12. ábra 3-ra oszlik.

27x - 12 = 3 (9x - 4)

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 23. lépés

2. Határozza meg, hogy a kezdeti egyenlet két négyzet különbsége.Az egyenletnek két olyan taggal kell rendelkeznie, amelyekből a négyzetgyöket eltávolíthatjuk.

9x = 3x * 3x és 4 = 2 * 2 (vegye figyelembe, hogy mínusz jelet hagytunk)

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 24. lépés

3. Helyettesítő értékek A és C Az űrlap kifejezésében:

(√ (a) + √ (c)) (√ (a) - √ (c)))

Példánkban A = 9 I C = 4, √A = 3 és √C = 2. Így,

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

7. módszer 7:

A négyzetes egyenlet megoldására szolgáló képlet

Ha más módszerek nem működnek, és a polinom nem bomlik le a tényezőkre, használja a négyzet egyenlet megoldásait. Tekintsünk egy példát:

X + 4x + 1 = 0

egy. Állítsa be a megfelelő értékeket a képletben:

x = -b ± √ (B - 4Ac)
---------------------
2a
Kapunk kifejezést:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 26. lépés

2. megtalálja X. Két jelentést kell kapnia X. Amint fentebb látható, két megoldást találunk:

x = -2 + √ (3) vagy x = -2 - √ (3)

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 27. lépés

3. Helyettesítő értékek X ahelyett H és K Az űrlap kifejezésében:

(X - h) (X - K)

(X - (-2 + √ (3)) (X - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)))

7. módszer 7:

Számológép

Ha grafikus számológépet használhat, akkor jelentősen egyszerűsíti a polinomok bomlásának folyamatát a szorzókhoz. Az alábbiakban az utasítások a grafikus számológép TI. Tekintsünk egy példát:

Y = x - x - 2

egy. Adja meg az [Y =] egyenletét.

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 29. lépés

2. Nyomja meg a [Grafikon] gombot az egyenlet grafikonjának létrehozásához. Látni fogja a sima görbét (a mi esetünkben egy parabola, mivel ez négyzetes egyenlet).

A kép a második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 30. lépése

3. Keresse meg a parabola metszéspontjait az X tengelyével. Tehát értékeket találsz X.

(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2

Ha vizuálisan nem tudja meghatározni a koordinátákat, nyomja meg a [2.] gombot, majd a [Trace]. Kattintson a [2] gombra, vagy válassza ki "nulla". Töltse be a kurzort a bal oldali metszéspontra, és nyomja meg az [ENTER] gombot. Töltse be a kurzort a jobb metszéspontra, és nyomja meg az [ENTER] gombot. A számológép maga határozza meg az értékeket X.

Képes tényező második fokozatú polinomok (kvadratikus egyenletek) 31. lépés

4. Helyettesítő értékek X ahelyett H és K Az űrlap kifejezésében:

(X - h) (X - K) = 0

(X - (-1)) (X - 2) = (x + 1) (X - 2)

Tippek

Ha grafikus TI-84 számológépe van, akkor van egy megoldó program, amely megoldja a négyzetes egyenleteket (és általában bármilyen mértékű egyenleteket).
Ha a tag nem a polinomban van, akkor az együttható 0. Ha ilyen eseted van, hasznos az egyenlet átírása az űrlapon:

x + 6 = x + 0x + 6
Ha egy polinomot egy négyzetes egyenlet megoldására szolgáló képlet segítségével helyeztél, és válaszolt a gyökerekre, értékeket konvertálni X egy töredékben ellenőrizni.
Ha ismeretlen (változó) van, nincs koefficiens, akkor egyenlő 1.

x = 1x
Idővel megtanulod tartani a minták és hibák módját a fejemben. És addig, amíg írja meg.

Figyelmeztetések

Ha tanulmányozza a polinomok bomlását az osztályokban, használja azt a módszert, amely tanácsot ad a tanárnak, és nem az, akit tetszik. A vizsga tanár bármely más módon történő felhasználását igényelheti, és megtilthatja a grafikus számológép használatát.