Hogyan készítsünk egy négyzetes egyenletet: 10 lépés

Az AX + BX + C vagy A (X - H) + K négyzetes egyenletének ütemezése parabola (U alakú görbe). Az ilyen egyenlet grafikonjának megteremtése érdekében meg kell találni a parabola tetejét, annak irányát és metszéspontjait az X és Y tengelyekkel. Ha viszonylag egyszerű négyzetes egyenletet kap, akkor az "x" különböző értékeit helyettesítheti, hogy megtalálja a megfelelő "Y" értékeket, és építsen egy ütemtervet.

Lépések

egy. A négyzetes egyenlet szabványos formában és nem szabványos formában rögzíthető. Használhat bármilyen egyenletet egy négyzetes egyenletes grafikák kialakításához (az építési módszer kissé eltérő). Szabályként a feladatokban a négyzetes egyenleteket standard formában adják meg, de ez a cikk megmondja Önnek mindkét típusú négyzet egyenletben.

Standard Now: F (x) = AX + BX + C, ahol A, B, C - érvényes számok és ≠ 0.

Például két szabványos egyenlet: f (x) = x + 2x + 1 és f (x) = 9x + 10x -8.

Nem szabványos megjelenés: f (x) = A (X - H) + K, ahol A, H, K - érvényes számok és egy ≠ 0.

Például két nem szabványos egyenlet: f (x) = 9 (X - 4) + 18 és -3 (X - 5) + 1.

Egy négyzet alakú egyenlet grafikonjának építése, először meg kell találnia egy Pearabol csúcsot, amely koordinátákat (H, K). A Pearabol-csúcsok koordinátáit a standard nézet egyenletekben a képletek: H = -B / 2a és K = F (H) - a Pearabol Vertex koordinátái a nem szabványos fajok egyenleteiben közvetlenül beszerezhetők az egyenletek.

A képen grafikon A négyzetes egyenlet 2. lépés

2. Grafikon létrehozásához meg kell találni az A, B, C (vagy A, H, K) együtthatók numerikus értékeit. A legtöbb feladatban négyzetes egyenleteket adnak az együtthatók numerikus értékeivel.

Például az F (x) = 2x + 16x + 39 A = 2, B = 16, C = 39.

Például egy f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12.

A képen grafikon A kvadratikus egyenlet 3. lépés

3. Hatuljon a standard egyenletben (a nem szabványos, amelyet már megadtak) a képlet alapján: H = -b / 2a.

Példánkban az F (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.

Példánkban egy nem szabványos egyenlet (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.

A képen grafikon A négyzetes egyenlet 4. lépés

4. Kiminálja a K szabványos egyenletben (nem szabványos, hogy már megadott). Ne feledje, hogy k = f (h), vagyis megtalálja a k, helyettesítő értékét H az eredeti egyenletben az "x" helyett az eredeti egyenletben.

Megállapítottad, hogy h = -4 (a szabványos egyenlethez). A K kiszámításához helyettesítse ezt az értéket az "X" helyett:

k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.

k = 2 (16) - 64 + 39.

k = 32 - 64 + 39 = 7

A nem szabványos k = 12 egyenletben.

A képen grafikon A négyzetes egyenlet 5. lépés

öt. Alkalmazzon egy csúcsot koordinátákkal (H, K) a koordináta síkon. H az X tengely mentén halad, és k - az y tengely mentén. A parabola teteje a legalacsonyabb pont (ha a parabola felé irányul), vagy maga a felső pont (ha a parabola lefelé irányul).

A szabványos egyenlet példáján a csúcs koordinátái (-4, 7). Alkalmazza ezt a pontot a koordináta síkra.

A nem szabványos egyenlet példáján a csúcs koordinátái (5, 12). Alkalmazza ezt a pontot a koordináta síkra.

A kép grafikonja A négyzetes egyenlet 6. lépés

6. Töltsön a szimmetria parabolas tengelyét (opcionális). A szimmetria tengelye a parabola tetején halad át az Y tengelyhez (azaz szigorúan függőlegesen). A szimmetria tengelye a parabolát felére osztja (azaz a parabola tükrözi a tengelyt szimmetrikus).

A standard egyenlet példáján a szimmetriatengely egy egyenes, párhuzamos tengely, és áthalad a ponton (-4, 7). Bár ez közvetlen, és nem része a parabolanak, ez a parabola szimmetriájának ötlete.

A képen grafikon A kvadratikus egyenlet 7. lépés

7. Meghatározza a parabola irányát - felfelé vagy lefelé. Nagyon könnyű megtenni. Ha az "A" együttható pozitív, akkor a parabola felfelé irányul, és ha az "A" együttható negatív, akkor a parabola lefelé irányul.

Példánkban az F (x) = 2x + 16x + 39 parabola standard egyenletre vonatkozik, mivel a = 2 (pozitív együttható).

A nem szabványos f (x) = 4 (X - 5) + 12 parabola példáján szerepel, mivel a = 4 (pozitív koefficiens).

A képen grafikon A kvadratikus egyenlet 8. lépés

nyolc. Szükség esetén keresse meg és alkalmazza a metszéspontot az x tengelyre. Ezek a pontok segítenek Önnek a Parabola építésében. Lehet, hogy két, egy vagy sem egy (ha a parabola felfelé irányul, és teteje az x tengely felett van, vagy ha a parabola lefelé irányul, és csúcsja az X tengely alatt van). A metszéspontok koordinátáinak kiszámításához kövesse az alábbi lépéseket:

Egyenlővé tegye az egyenletet nulla: f (x) = 0, és döntse el. Ez a módszer egyszerű négyzetes egyenletekkel (különösen nem szabványos fajokkal) működik, de komplex egyenletek esetén rendkívül nehéz lehet. Példánkban:

f (x) = 4 (X - 12) - 4

0 = 4 (X - 12) - 4

4 = 4 (X - 12)

1 = (X - 12)

√1 = (x - 12)

+/ -1 = x -12. A parabola az x tengelyekkel való metszéspontja koordinátákat (11,0) és (13,0).

Tervezze meg a szabványos forma négyzet egyenletét a szorzókon: AX + BX + C = (DX + E) (DX + E) (FX + G), ahol DX × FX = AX, (DX × G + FX × E) = bx, e × g = C. Ezután egyenlíti mindegyik Bicker-t 0-ra, és keresse meg az "x" értékeket. Például:

x + 2x + 1

= (x + 1) (x + 1)

Ebben az esetben a parabola metszéspontja az x tengelyekkel koordinátákkal (-1,0), mert x + 1 = 0 x = -1.

Ha nem tudja lebomlanítani a szorzók egyenletét, döntse el a négyzetes egyenlet gyökereinek kiszámításának képletével: x = (-b +/- √ (B - 4Ac)) / 2a.

Például: -5x + 1x + 10.

X = (-1 +/- √ (1 - 4 (-5) (10)))) / 2 (-5)

x = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10

x = (-1 +/- √ (201) / - 10

x = (-1 +/- 14,18) / - 10

x = (13,18 / -10) és (-15,18 / -10). A parabola az x tengelyekkel való metszéspontja koordinátákat (-1,318,0) és (1,518,0).

A 2x + 16x + 39 egyenletek szabványa:

X = (-16 +/- √ (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)

x = (-16 +/- √ (256 - 312)) / 4

x = (-16 +/- √ (-56) / - 10

Mivel lehetetlen a négyzetgyöket negatív számból kivonni, akkor ebben az esetben a parabola nem metszi az X tengelyt.

A képen grafikon A kvadratikus egyenlet 9. lépése

kilenc. Szükség esetén keresse meg és alkalmazza a metszéspontot az y tengelyre. Nagyon könnyű - helyettesítse az x = 0-at az eredeti egyenletre, és megtalálja az "Y" értékét. Az Y tengely metszéspontja mindig egyedül van. MEGJEGYZÉS: A Standard nézet egyenleteiben a metszéspontnak koordinátái (0, C).

Például a parabola négyzetes egyenlet 2x + 16x + 39 keresztezi az Y tengelyt egy ponton koordinátákkal (0, 39), mivel c = 39. De kiszámítható:

f (x) = 2x + 16x + 39

f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39

F (x) = 39, azaz a négyzetegyenlet parabola metszi az Y tengelyt a ponton koordinátákkal (0, 39).

Példánkban a nem szabványos fajok4 (X-5) + 12 egyenlete, az Y tengely metszéspontja az alábbiak szerint kerül kiszámításra:

f (x) = 4 (X - 5) + 12

f (x) = 4 (0 - 5) + 12

f (x) = 4 (-5) + 12

f (x) = 4 (25) + 12

f (x) = 112, vagyis a négyzet egyenlet parabola metszi az Y tengelyt a koordináták pontján (0, 112).

A képen grafikon A kvadratikus egyenlet 10. lépése

10. Megtaláltad (és foglalkozott) a parabola tetejét, annak irányát és metszéspontjait az x és y tengelyekkel. Ezen a pontokon parabolákat építhet, vagy további pontokat kereshet és alkalmazhat, majd csak parabolát épít. Ehhez az eredeti egyenletben az "x" (mindkét oldalán) több értékét helyettesítsük az "Y" megfelelő értékeinek kiszámításához.

Visszatérjünk az X + 2x + 1 egyenletre. Már tudod, hogy az egyenlet ütemtervének metszéspontja az x tengelyekkel a koordináták (-1.0) pontja. Ha a parabola csak egy pontja van az x tengelyen, akkor ez az x tengelyen fekvő parabola teteje. Ebben az esetben egy pont nem elég ahhoz, hogy felépítse a megfelelő parabolát. Ezért talál néhány további pontot.

Tegyük fel, hogy x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.

X = 0: F (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Point koordináták: (0,1).

x = 1: F (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Point koordináták: (1.4).

X = -2: F (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Point koordináták: (-2.1).

X = -3: F (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Point koordináták: (-3.4).

Alkalmazza ezeket a pontokat a koordináta síkra, és építsen egy parabolát (csatlakoztassa az U-alakú görbe nézeteit). Felhívjuk figyelmét, hogy a parabola teljesen szimmetrikus - bármely pont az egyik ága a parabola is tükrözi (viszonyítva a szimmetria tengely), a másik ága parabola. Ezzel időt takarít meg, mivel nem kell kiszámítani a pontok koordinátáit a Parabola mindkét fiókjában.

Tippek

Kerek frakcionált számok (ha ez egy tanár követelménye) - így építeni a megfelelő parabolát.
Ha f (x) = AX + BX + C együttható: B vagy C-ek nulla, akkor nincsenek ilyen tagok az egyenletben. Például a 12x + 0x + 6 12x + 6-ra fordul, mert 0x 0.