Az implicit függvény indifferenciálása: 7 lépés

Ha tiszta funkciót kap, amelyben a függő változó az egyenlőségi jel egyik oldalán van elkülönítve (például Y = X -3X), akkor könnyen közvetlenül indifferenciálja (vagyis a származékát megtalálja). De implicit funkciók (például x + y - 5x + 8y + 2xy = 19), amelyben nem olyan egyszerű, hogy eltérjen a függő változót másképp.

Lépések

1. módszer: 2:

Egy egyszerű funkcióból származó származék keresése

egy. A funkció mindkét oldalán megtalálja (standard módon) olyan tagok származtatásait, amelyek független "X" változót és származékos szabadtagokat tartalmaznak. Ebben a szakaszban az "Y" függő változót tartalmazó tagok, amíg meg nem éri. Például az X + Y funkciót kapja - 5x + 8Y + 2xy = 19.

Az X + Y - 5X + 8Y + 2XY = 19 példányban két tag van az "X": X és -5X változóból. Keresse meg származékaikat:
X + Y - 5x + 8Y + 2xy = 19
(2-es fok), hogy egy szorzót készítsen, -5x-ben megszabaduljon az "x" -tól, és a 19 származék 0)
2x + y - 5 + 8Y + 2xy = 0

Az implicit differenciálódási lépés 2. lépés

2. Most vegye ki az "Y" változóból származó származékokat, és rájuk (DY / DX). Például, amikor egy tagszármazékot talál, írja le a következőket: 2Y (DY / DX). Ebben a szakaszban mindkét változót tartalmazó tagok ("x" és "y") addig, amíg megérinted.

A 2. példában 2x + y - 5 + 8y + 2xy = 0 megkülönbözteti a tagokat Y és 8Y:

2x + y - 5 + 8Y + 2xy = 0

(A 2 VM fokozatának mutatója a szorzó készítéséhez, és a 8. helyen megszabaduljon az "Y" -tól - ezután a kapott DX / DY-származékhoz forduljon)

2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2xy = 0

Az implicit differenciálódás 3. lépése 3. lépés

3. A két változó termékét tartalmazó tagszármazékot ("x" és "y") tartalmazza, használja a funkciók funkciójának differenciálódásának funkcióját: (F × g) `= f` × g + g × f `, ahol az "X" szubsztrátum helyett, és a g - "y" helyett. Másrészről, hogy a magán két változót tartalmazó tag származékát ("x" és "y") találja, használja a magánfunkciók differenciálódásának szabályát: (F / g) `= (g × f` - g `× f) / g, ahol az "X" szubsztrátum helyett, és a G - "Y" helyett (vagy fordítva, az Ön által megadott funkcióktól függően).

2. példa 2x + 2y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2H = 0 Van egy tag mindkét változóval: 2xy. Mivel itt a változók megszorozzák, használja a funkció differenciálódásának funkcióját:

2xy = (2x) (y) - legyen 2x = f és y = g (f × g) `= f` × g + g × f `

(F × g) `= (2x)` × (y) + (2x) × (y) `

(F × g) `= (2) × (y) + (2x) × (2y (dy / dx))

(F × g) `= 2Y + 4XY (DY / DX)

Adja hozzá ezeket a tagokat a fő funkcióhoz, és kap: 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4XY (DY / DX) = 0

Az implicit differenciálódási lépés 4. lépés

4. (Dy / dx). Ne feledje, hogy bármelyik két "A" és "B" tag, melyeket (DY / DX) szaporítanak (a + b) (A + B) (DY / DX). Az elválasztáshoz (DY / DX) átviheti az összes tagot (DY / DX) az egyenlőségi jel egyik oldalára, majd ossza meg őket a zárójelben álló tagoknak (DY / DX).

A 2x + 2y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4XY (DY / DX) = 0:

2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4XY (DY / DX) = 0

(2Y + 8 + 4xy) (DY / DX) + 2x - 5 + 2Y = 0

(2Y + 8 + 4xy) (DY / DX) = -2Y - 2x + 5

(DY / DX) = (-2Y - 2x + 5) / (2Y + 8 + 4XY)

(DY / DX) = (-2Y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

2. módszer 2:

Speciális módszerek

egy. Alvóértékek (x, y) megtalálni (DY / DX) bármely ponton. Kötelezhető (DY / DX), találtál egy implicit függvény származékát. Ezzel a származékkal megtalálhatja a tangenciális szöges együtthatót bármely ponton (x, y), egyszerűen az "X" és az "Y" koordináták talált származékában helyettesítve.

Például meg kell találni az a (3, -4) pontban lévő érintési szög együtthatót. Ehhez a származékban a "x" helyettesítő helyett 3, és helyett "Y" helyettesítő -4:
(DY / DX) = (-2Y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(DY / DX) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
(DY / DX) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (2 (3) (- 4)))
(DY / DX) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (2 (2 (-12)))
(DY / DX) = (-33) / (2 (2 (2 (-12))
(DY / DX) = (-33) / (- 48) = 3/48 = 0,6875.

Az implicit differenciálódási lépés 6. lépés

2. Használja ki a komplex funkciók differenciálódásának lánc részleteit: Ha az F (x) függvény formájában írható (f O g) (x), az F (x) származék egyenlő F `(g (x)) g` (x). Ez azt jelenti, hogy a két vagy több funkció összetételének származékát egyedi származékok alapján lehet kiszámítani.

Példa: Keresse meg a bűnszármazékot (3x + x). Ebben az esetben a bűn (3x + x) jelöli "f (x)" és 3x + x tetszik "G (x)".

F `(g (x)) g` (x)

(Sin (3x + x)) `× (3x + x)`

Cos (3x + x) × (6x + 1)

(6x + 1) cos (3x + x)

3. Ha a funkció az "X", "Y", "Z" változókat tartalmazza, megtalálja (DZ / DX) és (DZ / DY). Vagyis, ha a függvény több mint két változót tartalmaz, minden további változó esetében további származékot kell találni az "x". Például, ha a funkció tartalmazza az "X" változókat, az "Y", "Z", meg kell találnia (DZ / DX) és (DZ / DY). Ezt úgy teheti meg, ha a funkciót "x" kétszer irányítja - először hozzáadja (DZ / DX) minden egyes indíthatatlan taghoz a "Z" -al, és másodszor hozzáadom (DZ / DY), amikor megkülönböztetik "Z". Ezután egyszerűen külön (DZ / DX) és (DZ / DY).

Például keresse meg az xz származékot - 5xyz = x + y.

Először is, indifferentiate az "x" és add hozzá (DZ / DX). Ne felejtsd el alkalmazni a funkciók függvényének származékát.

xz - 5xyz = x + y

3xz + 2xz (DZ / DX) - 5YZ - 5XY (DZ / DX) = 2x

3xz + (2xz-5xy) (DZ / DX) - 5YZ = 2x

(2xz - 5xy) (DZ / DX) = 2x - 3xz + 5YZ

(DZ / DX) = (2x - 3xz + 5YZ) / (2xz - 5xy)

Most tegye ugyanezt (DZ / DY):

xz - 5xyz = x + y

2xz (DZ / DY) - 25xyz - 5xy (DZ / DY) = 3Y

(2xz - 5xy) (DZ / DY) = 3Y + 25xyz

(DZ / DY) = (3Y + 25XYZ) / (2xz - 5xy)