Hogyan lehet meghatározni, hogy egy végtelen sor konvergál-e: 4 lépés

A végtelen numerikus sorok gyakran zavartálódást és megijesztést eredményeznek, mert elég nehéz elképzelni, hogy mentálisan. Első pillantásra nehéz megmondani, hogy egy szám konvergál, vagy sem, néhány évszázaddal ezelőtt, az ilyen kérdésre adott válasz sok órát vesz igénybe. Azonban az idejünkben, köszönhetően sok kiemelkedő matematikus erőfeszítéseinek köszönhetően egy egyszerű technikával rendelkezünk, könnyen megengedhetjük a feladat megoldását. Ezek a technikák célja a kérdésre adott válasz megszerzése, a szám konvergál, vagy nem, és nem találja meg az összegét. Ahhoz, hogy megértsük őket, a számítástechnika alapjait is.

Lépések

egy. Az előzetes ellenőrzés végrehajtása. Van egy egyszerű tétel, amely kimondja, hogy ha az F függvény végtelen összege konvergál, az F függvény korlátja 0. Így, ha van az X ^ 2 funkció, akkor nincs korlátozása, és összege nem ért egyet az Infinity-hez, másrészt az 1 / x függvény határa 0, így az összege konvergálhat. Ha a határ nem egyenlő nulla, tudjuk, hogy a sor eltér. Figyelem: Az ellenkezője nem igaz, vagyis az a tény, hogy a határérték nulla, nem jelenti azt, hogy egy szám szükségszerűen konvergál. Ebben az esetben további ellenőrzésre van szükség.

A kép címe meghatározza, hogy egy végtelen sorozat konvergál-e 2. lépés

2. Geometriai sorok. Ezeknek a soroknak, hogy van egy nagyon egyszerű szabály, így elsősorban annak meghatározása, hogy a sor geometrikus. A geometriai sorozat a számsorozatot, minden egyes tagja, ami lehet például R ^ k, ahol k egy változó, és R jelentése egy szám közötti tartományban -1 és 1. A geometriai sorok mindig egyetértenek. Ezenkívül könnyen meghatározhatja az ilyen sor mennyiségét, amely 1 / (1-R).

A kép Címzett egy karácsonyi lejátszás 4. lépés

3. Általános harmonikus rangok, vagy Dirichlet. Az ilyen számot az 1 / (x ^ p) formanyomtatvány funkcióinak összege, ahol x bármilyen szám. Ezeknek a soroknak a tétele azt állítja, hogy ha P nagyobb, mint az egység, a sorozat konvergál, ha P kisebb vagy egyenlő az egyik, a sor eltér. Ez azt jelenti, hogy a fent említett 1 / x sorozat eloszlatja, mivel 1 / (x ^ 1), ahol p = 1. Ezt a sorozat harmonikusnak nevezik. Az 1 / (x ^ 2) szám konvergál, mint 2 több 1.

4. Egyéb sorok. Ha egy szám nem tartozik a fent említett típusok egyikéhez, akkor az alábbi módszereket alkalmazza. Ha egy módszer nem segített, alkalmazza a következőket, mert nem mindig világos, hogy melyiknek kell lennie. Bár nincsenek egyértelmű szabályok, idővel jobban navigálhat a kívánt módszer kiválasztásában.

Összehasonlító módszer. Tegyük fel, hogy két sor van pozitív tagokból, A (N) és B (N). Ezután: 1) Ha a végtelen b (n) konvergál, és a (n) kisebb, mint B (n) (bármely eléggé nagy N), akkor az A (n) összeg is konvergál, 2), ha b ( n) diszpel, és a (n)> b (n), majd a (n) is eltér. Például van egy 2 / x sorozatod, összehasonlíthatjuk, közel 1 / x. Mivel már tudjuk, hogy az 1 / x sorozat eltérő, és 2 / x> 1 / x, következik, hogy a 2 / x szám is szétszóródik. Így a módszer ötlete annak meghatározása, hogy a sorozat konvergál-e, vagy sem, a már ismert sorozat segítségével. A kép címe Határozza meg, hogy egy végtelen sorozat konvergál-e a 4Bullet1 lépésre

A kép címe Határozza meg, hogy egy végtelen sorozat konvergál-e a 4Bullet1 lépésre

Az összehasonlítási határértékek módszere. Ha a (n) és b (n) pozitív számok sorai, és ha van egy (n) / b (n) határérték, ami nagyobb, mint 0, akkor mindkét sor konvergál vagy eltérő. Ebben az esetben a tanulmány alatti sorozat az ismert módszerrel is összehasonlítva az ismert sorozat kiválasztása, amelynek maximális mértéke megfelel a tanulmány alatt álló sorozat mértékének. Ha például egy 1 / (x ^ 3 + 2x + 1-es sorozat), akkor érdemes összehasonlítani közel 1 / (x ^ 3). A kép címe Határozza meg, hogy egy végtelen sorozat konvergál-e a 4BULLET2 lépésre

A kép címe Határozza meg, hogy egy végtelen sorozat konvergál-e a 4BULLET2 lépésre

Ellenőrizze az integrált. Ha a funkció nagyobb, mint a nulla, folyamatos és csökken az x értékeknél az 1-nél nagyobb vagy egyenlő, akkor a végtelen f (n) sorozat konvergál, ha egy bizonyos integrált 1-től az Infinity-től az F (x) függvényből származik, és van a végső jelentés - egyébként a sor eltér. Így elég ahhoz, hogy integrálja a funkciót, és megtalálja az x korlátozását, az Infinity-t keresve: Ha a határ véges, a sorozat konvergál, ha a határérték egyenlő a végtelenséggel, a sor eltér. A kép címe Határozza meg, hogy egy végtelen sorozat konvergál-e 4Bullet3 lépés

A kép címe Határozza meg, hogy egy végtelen sorozat konvergál-e 4Bullet3 lépés

Aláírott sorok. Ha A (K)> A (K + 1)> 0 eléggé nagy K, és az A (n) határérték 0, akkor az alternatív sorozat (-1) ^ n A (N) konvergál. Egyszerűen fogalmazva, mondjuk, hogy a sorod jelentős (vagyis tagjai váltakozva pozitívak és negatívak) - Ebben az esetben dobja el a funkció alternatív részét, és keresse meg a maradékot - ha a határ véges, A sorozat konvergál.

Kapcsolat módszer. Ha egy (n) végtelen sorozatot adunk meg, keresse meg az A sor (n + 1) sorát. Ezután kiszámítsa az ezt követő tag arányát az előző (N + 1) / A (N), ha szükséges, abszolút értékét. Keresse meg ennek a kapcsolatnak a határát, ha N Törekedjen a végtelenségig, ha ez a határérték létezik és végleges, akkor ez a következőket jelenti: 1) Ha a határ kisebb, mint egy, a sorozat konvergál - 2), ha a határ nagyobb, mint az egység, A sor el van választva), ha a határ egyenlő, ez a módszer elégtelen (egy szám konvergálható és diszpergálható).

Ezek a legfontosabb módszerek a sorok konvergenciájának meghatározására, és rendkívül hasznosak. Ha egyikük sem segített, valószínű, hogy a feladatnak nincs megoldása, vagy valahol hibát követett el. Ezek a módszerek más sorokhoz is használhatók, például a hatalmi sorok, a taylor sorok és a t.D. Ezen módszerek birtoklása nehéz túlbecsülni, mivel más egyszerű módja annak, hogy meghatározzák a szám konvergenciáját.

Tippek

Mindig keresse meg a határértéket, és ellenőrizze, hogy az összehasonlító módszer használata előtt ne alkalmazza-e a geometriai vagy általános harmonikus sorokat. Ez lehetővé teszi, hogy sok időt és erőfeszítést megtakarítson.

Figyelmeztetések

Ne próbálja meg megoldani a feladatot egy számológép segítségével.